Cálculo de primitivas. Integrales tipo arcotangente

Además de que la técnica de completar cuadrados nos ha servido para obtener la fórmula de las soluciones de una ecuación de segundo grado, también se usa para calcular primitivas de ciertas funciones.

Recordemos que la derivada de y=arctgx$y=\text{arctg}x$ es y′=1x2+1$y^{\prime }=\frac{1}{x^2+1}$ y, en general, tememos que

y=arctgf(x)⇒y′=f′(x)f(x)2+1$$y=arctgf\left(x\right)\Rightarrow y^{\prime }=\frac{f^{\prime }\left(x\right)}{f{\left(x\right)}^2+1}$$

Pues bien, las integrales del tipo

∫kax2+bx+cdx$$\int \frac{k}{a{x}^2+bx+c}dx$$

en las que el polinomio ax2+bx+c$a{x}^2+bx+c$ no tiene raíces reales, son precisamente del tipo arcotangente anterior. Usemos nuestro ejemplo en el que hemos completado el cuadrado para verlo.

∫12x2–6x+5dx=∫12((x–32)2+14)dx=12∫1(x–32)2+14dx=$$\int \frac{1}{2x^2–6x+5}dx=\int \frac{1}{2\left({\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\right)}dx=\frac{1}{2}\int \frac{1}{{\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}}dx=$$

Si multiplicamos por 4$4$ todos los términos del numerador y del denominador tenemos: 

=12∫44(x–32)2+1dx=12∫4(2x–3)2+1dx=12∫2⋅2(2x–3)2+1dx=$$=\frac{1}{2}\int \frac{4}{4{\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{4}{{\left(2x–3\right)}^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2\cdot 2}{{\left(2x–3\right)}^2+1}dx=$$

∫2(2x–3)2+1dx=arctg(2x–3)+C$$\int \frac{2}{{\left(2x–3\right)}^2+1}dx=arctg\left(2x–3\right)+C$$

Obsérvese que hemos utilizado lo siguiente:

4(x–32)2=22(x–32)2=(2(x–32))2=(2x–62)2=(2x–3)2$$4{\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2=2^2{\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2={\left(2\left(x–\frac{3}{2}\right)\right)}^2={\left(2x–\frac{6}{2}\right)}^2={\left(2x–3\right)}^2$$

A veces se ve mejor el cálculo de la integral usando un cambio de variable:

∫1(x–32)2+14dx=[x–32=t⇒dx=dt]=$$\int \frac{1}{{\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}}dx=\left[x–\frac{3}{2}=t\Rightarrow dx=dt\right]=$$

=∫1t2+14dt=∫14t2+14dt=∫4(2t)2+1dt=2∫2(2t)2+1dt=$$=\int \frac{1}{t^2+\frac{1}{4}}dt=\int \frac{1}{\frac{4t^2+1}{4}}dt=\int \frac{4}{{\left(2t\right)}^2+1}dt=2\int \frac{2}{{\left(2t\right)}^2+1}dt=$$

=2arctg2t+C=2arctg(2(x–32))+C=2arctg(2x–3)+C$$=2arctg2t+C=2arctg\left(2\left(x–\frac{3}{2}\right)\right)+C=2arctg\left(2x–3\right)+C$$

Pero esto ya es cuestión de gustos.