Completando cuadrados

La pregunta es: ¿cómo podemos completar un cuadrado para obtener cualquier polinomio de grado dos? Dicho de otra manera: si ax2+bx+c$a{x}^2+bx+c$ es un polinomio de grado dos (con lo cual supondremos que a≠0$a\ne 0$), ¿cómo hacer para expresarlo como un cuadrado completado? Es decir, ¿podremos conseguir la siguiente expresión?

ax2+bx+c=a((x+m)2+n2)$$a{x}^2+bx+c=a\left({\left(x+m\right)}^2+n^2\right)$$

La respuesta es afirmativa. En primer lugar, lo vamos a ver con un ejemplo concreto, en el que daremos los pasos pertinentes para conseguir nuestro objetivo.

Sea el polinomio 2x2−6x+5$2x^2-6x+5$. Vamos a hallar números m$m$ y n$n$ de tal forma que

2x2–6x+5=2((x–m)2+n2)$$2x^2–6x+5=2\left({\left(x–m\right)}^2+n^2\right)$$

Paso 1

Consiste en extraer factor común el coeficiente líder o principal. Para ello dividimos entre tal coeficiente todos los términos del polinomio, cosa que podemos hacer pues hemos supuesto que a≠0$a\ne 0$. En nuestro ejemplo concreto tenemos:

2x2–6x+5=2(x2–3x+52)$$2x^2–6x+5=2\left(x^2–3x+\frac{5}{2}\right)$$

Paso 2

Multiplicamos el término en x$x$ (o término de grado uno) por 2$2$ y por 12$\frac{1}{2}$, (con lo cual realmente no estamos modificando nuestra expresión):

2x2–6x+5=2(x2–2⋅12⋅3x+52)$$2x^2–6x+5=2\left(x^2–2\cdot \frac{1}{2}\cdot 3x+\frac{5}{2}\right)$$

Ahora vamos a escribir este término en x$x$ de la forma 2⋅x⋅m$2\cdot x\cdot m$ (con lo que aparecerá el número m$m$ que buscábamos al principio).

2x2–6x+5=2(x2–2⋅x⋅32+52)$$2x^2–6x+5=2\left(x^2–2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+\frac{5}{2}\right)$$

Puesto que (x–m)2=x2–2⋅x⋅m+m2${\left(x–m\right)}^2=x^2–2\cdot x\cdot m+m^2$, nos damos cuenta fácilmente de que m=32$m=\frac{3}{2}$. Para completar el cuadrado nos hará falta que aparezca el cuadrado de m$m$ por algún sitio.

Paso 3

Sumamos y restamos m2$m^2$. En nuestro ejemplo, como m=32$m=\frac{3}{2}$, este paso queda así:

2x2–6x+5=2(x2–2⋅x⋅32+52)=2(x2–2⋅x⋅32+94–94+52)$$2x^2–6x+5=2\left(x^2–2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+\frac{5}{2}\right)=2\left(x^2–2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4}–\frac{9}{4}+\frac{5}{2}\right)$$

Ahora es fácil darse cuenta de que los tres primeros términos del último paréntesis son justamente el cuadrado de una diferencia:

2x2–6x+5=2(x2–2⋅x⋅32+52)=$$2x^2–6x+5=2\left(x^2–2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+\frac{5}{2}\right)=$$

=2(x2–2⋅x⋅32+94–94+52)=2((x–32)2–94+52)$$=2\left(x^2–2\cdot x\cdot \frac{3}{2}+\frac{9}{4}–\frac{9}{4}+\frac{5}{2}\right)=2\left({\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2–\frac{9}{4}+\frac{5}{2}\right)$$

Como resulta que −94+52=14$-\frac{9}{4}+\frac{5}{2}=\frac{1}{4}$, tenemos finalemente el cuadrado completado:

2x2–6x+5=2((x–32)2+14)$$2x^2–6x+5=2\left({\left(x–\frac{3}{2}\right)}^2+\frac{1}{4}\right)$$

Obsérvese que en nuestro ejemplo el valor de n$n$ es 12$\frac{1}{2}$ pues n2=(12)2=14$n^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$.

Nos podemos plantear el cálculo de m$m$ y n$n$ en función de los coeficientes a$a$, b$b$ y c$c$. Aunque siguiendo los tres pasos anteriores es más fácil hacer casos concretos, particulares. De todas formas, vamos a verlo.

ax2+bx+c=a(x2+bax+ca)=$$a{x}^2+bx+c=a\left(x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=$$

=a(x2+2⋅12⋅bax+ca)=a(x2+2⋅x⋅b2a+ca)=$$=a\left(x^2+2\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{b}{a}x+\frac{c}{a}\right)=a\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+\frac{c}{a}\right)=$$

=a(x2+2⋅x⋅b2a+b24a2–b24a2+ca)=a((x+b2a)2+–b2+4ac4a2)$$=a\left(x^2+2\cdot x\cdot \frac{b}{2a}+\frac{b^2}{4a^2}–\frac{b^2}{4a^2}+\frac{c}{a}\right)=a\left({\left(x+\frac{b}{2a}\right)}^2+\frac{–b^2+4ac}{4a^2}\right)$$

O sea:

m=b2a;n2=–b2+4ac4a2⇒n=–b2+4ac−−−−−−−−√2a$$m=\frac{b}{2a};n^2=\frac{–b^2+4ac}{4a^2}\Rightarrow n=\frac{\sqrt{–b^2+4ac}}{2a}$$

Usando estas fórmulas es también muy sencillo obtener los valores de m$m$ y de n$n$ para casos concretos.